简单函数

根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

在积分的理论的发展中，以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数

f

:

X

→

R

≥

0

{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} _{\geq 0}}

都会是单调递增的非负简单函数序列的逐点极限。事实上，设

f

{\displaystyle f}

为定义在测度空间

(

Ω

,

F

,

μ

)

{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}

上的非负可测函数。对于每一个

n

∈

N

{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

，我们把

f

{\displaystyle f}

的对应域分成

2

2

n

+

1

{\displaystyle 2^{2n}+1}

个区间，其中

2

2

n

{\displaystyle 2^{2n}}

个区间长度为

2

−

n

{\displaystyle 2^{-n}}

（除了

I

n

,

2

2

n

{\displaystyle I_{n,2^{2n}}}

以外，其他区间长度都为

2

−

n

{\displaystyle 2^{-n}}

） 。让

I

n

,

k

=

[

k

2

n

,

k

+

1

2

n

)

,

k

=

0

,

1

,

…

,

2

2

n

−

1

,

{\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k}{2^{n}}},{\frac {k+1}{2^{n}}}\right),\;k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1,\;\;}

以及

I

n

,

2

2

n

=

[

2

n

,

∞

]

.

{\displaystyle \;\;\;I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty ].}

定义可测集合

A

n

,

k

=

f

−

1

(

I

n

,

k

)

{\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})}

，对于

k

=

0

,

1

,

…

,

2

2

n

{\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}}

。则我们定义简单函数

s

n

{\displaystyle s_{n}}

如下

s

n

=

∑

k

=

0

2

2

n

k

2

n

⋅

1

A

n

,

k

{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}}

如果对每个

n

∈

N

{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

都构造如此的函数

s

n

{\displaystyle s_{n}}

，则我们得到一组单调递增的简单函数序列

{

s

n

}

{\displaystyle \{s_{n}\}}

，

当

n

→

∞

{\displaystyle n\to \infty }

时，这序列会逐点收敛至

f

{\displaystyle f}

。

注意如果

f

{\displaystyle f}

是有界的，则序列是一致收敛。

这种用简单函数逼近非负函数

f

{\displaystyle f}

的方法，可以用来定义

f

{\displaystyle f}

的勒贝格积分，因为相对来讲，简单函数的积分很好计算。详情请参阅勒贝格积分。